Sangaku - Zwei Viertelkreise in einem Quadrat
Das erste Sangaku
Zwei Viertelkreise in einem Quadrat :
Die Lösung
Offensichtlich sind der Radius des roten Kreises und die Seitenlänge des Quadrates identisch.
\[ \color{red}{r_1} = a\]
Als zweiten Schritt schauen wir uns die Diagonale an. Für die Diagonale $d$ können gilt:
\[ d = \color{red}{r_1}+\color{blue}{r_2}\]
An dieser Stelle müssen wir noch das Quadrat einbauen. Die Seitenlänge ist ja $r_1$. Die
Diagonale können wir mit dem Satz von Pythagoras auch schreiben als:
\[ d = \sqrt{ \color{red}{r_1}^2 + \color{red}{r_1}^2} = \sqrt{2\color{red}{r_1}^2} = \color{red}{r_1} \cdot \sqrt{2}\]
Setzen beide Gleichungen gleich so erhalten wir:
\begin{align}
\color{red}{r_1}+\color{blue}{r_2} &= \color{red}{r_1} \cdot \sqrt{2} &&|:\color{red}{r_1} \\
1 + \frac{\color{blue}{r_2}}{\color{red}{r_1}} &= \sqrt{2} &&|-1 \\
\frac{\color{blue}{r_2}}{\color{red}{r_1}} &= \sqrt{2}-1 &&|\text{ Kehrwert nehmen} \\
\frac{\color{red}{r_1}}{\color{blue}{r_2}} &= \frac{1}{\sqrt{2}-1} &&|\text{ erweitern} \\
\frac{\color{red}{r_1}}{\color{blue}{r_2}} &= \frac{1}{\sqrt{2}-1} \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} &&|\text{ 3. binomische Formel} \\
\frac{\color{red}{r_1}}{\color{blue}{r_2}} &= \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} && \\
\frac{\color{red}{r_1}}{\color{blue}{r_2}} &= \sqrt{2}+1
\end{align}
Somit haben wir das Verhältnis zwischen den beiden Radien bestimmt.