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Rechnen mal anders - Bauernmultiplikation

In dieser Serie möchte ich einige ungewöhnliche Methoden vorstellen, wie man rechnen kann. Ob sie Vereinfachungen bieten, schneller sind oder doch nur umständlich, wird sich in den jeweiligen Artikeln zeigen. Aber auch die eigene subjektive Meinung kann sehr unterschiedlich ausfallen.

Anfangen wollen wir mit der Bauernmultiplikation, oft auch russische Bauernmultiplikation genannt, da sie im Altertum vorwiegend in Russland aber auch in Deutschland angewendet wurden ist. Entstanden ist das Verfahren aber nicht unbedingt in Russland, denn schon die alten Ägypter hatten ein sehr ähnliches Verfahren um zwei Zahlen miteinander zu multiplizieren. Genau darum geht es auch bei der Bauernmultiplikation. Man möchte zwei große Zahlen schnell und einfach miteinander multiplizieren und dafür so wenig wie nötig „schwierige“ Rechenoperationen durchführen.
Heutzutage lernt man in der Grundschule das 1 mal 1. Aber im Mittelalter hatten nicht alle Menschen das Recht auf eine solche Bildung. Sie beherrschten eventuell nur die Addition. Genau für diese Bevölkerungsgruppe ist das Verfahren bestens geeignet, denn neben der Addition muss man nur eine Zahl verdoppeln beziehungsweise halbieren können. Nehmen wir uns hierfür ein Beispiel: \begin{align} 17 \cdot 13 \end{align} In der heutigen Zeit ist diese Rechnung einfach. Auch ohne Handy oder Taschenrechner könnte man das Ergebnis einfach im Kopf bestimmen. Aber wie hat man dies früher im Mittelalter berechnen können, ohne die schriftliche Multiplikation zu verwenden? Zuerst macht man eine Tabelle mit 3 Spalten. In die ersten beiden Spalten kommen die beiden Faktoren hin. In die dritte Spalte schreiben wir erneut den zweiten Faktor. Diese Spalte dient zum Schluss der Addition der einzelnen Werte.
13 17 17
Was passiert jetzt? Die erste Zahl („13“) wird nun halbiert und die zweite Zahl („17“) wird verdoppelt. Die Hälfte von 13 ist 6,5. Wenn wir beim Halbieren keine natürliche Zahl erreichen (wie beim Halbieren von 13), dann runden wir das Ergebnis ab. In die zweite Zeile schreiben wir demnach:
13 17 17
6 34 34
Diese Vorgehensweise führen wir soweit fort, bis in der ersten Spalte eine Eins steht. Hierfür müssen wir vorerst nur die einzelnen Werte halbieren beziehungsweise verdoppeln. Wir müssen also keine „höhere“ Mathematik verwenden.
13 17 17
6 34 34
3 68 68
1 136 136
Wie kommen wir nun zum Ergebnis der Multiplikation? Es gab ja noch die dritte Spalte - die Ergebnisspalte. Addieren wir nun die letzte Spalte auf so würde man \begin{align} 17+34+68+136 = 255 \end{align} erhalten. Jedoch ist $13 \cdot 17$ nicht $255$, sondern $221$. Wir haben also noch einen kleinen Fehler in der Rechnung. Schaut man sich aber die Differenz zwischen den beiden Werten („255“ und „221“) an, so fällt einem vielleicht auf, dass die Differenz genau 34 ist. Dies ist unser zweiter Summand. Aber warum müssen wir gerade diesen nicht beachten? Was ist an dieser Zeile anders, als bei den Anderen? In der linken Spalte steht hier und nur hier eine gerade Zahl. In diesem Fall wird die Zahl ganz rechts einfach durchgestrichen. Wir haben also die folgende Übersicht:
13 17 17
6 34 34
3 68 68
1 136 136
221
Das Ergebnis haben wir nur mit einfachen Mitteln erhalten, ohne das 1 mal 1 beherrschen zu müssen. An dieser Stelle kann man sich nun zwei Fragen stellen:
  • Warum funktioniert das?
  • Wieso muss ich in der zweiten Zeile die 34 durchstreichen?
Diese beiden Fragen wollen wir nun im Folgenden klären. Wir nehmen den ersten Faktor und schreiben ihn als Summe von 2er Potenzen auf, also: \begin{align} 13 = 8 + 4 + 1 \end{align} Mit $2^0=1$ folgt nun weiter: \begin{align} 13 = 2^3 + 2^2 + 2^0 \end{align} Schaut man sich nun die Exponenten an, so erkennt man dass $2^1$ fehlt. Multipliziert man diesen Faktor mit Null so ändert sich nichts an dem Wert. Wir können ihn also ergänzen. \begin{align} 13 = 2^3 + 2^2 + 0\cdot 2^1 + 2^0 \end{align} Nun multiplizieren wir diesen Ausdruck mit 17. \begin{align} 13\cdot 17 &= \left(2^3 + 2^2 + 0\cdot 2^1 + 2^0\right) \cdot 17 &&|\text{ ausmultiplizieren} \\ &= 2^3 \cdot 17 +2^2 \cdot 17 +0 \cdot 2^1 \cdot 17 +2^0 \cdot 17 \\ &=8 \cdot 17 + 4 \cdot 17 + 0 \cdot 2 \cdot 17 + 1 \cdot 17 \\ &= 136 + 68 + 0 \cdot 34 + 17 \end{align} In der letzten Zeile stehen nun unsere vier Summanden, wie wir sie schon mittels der Bauernmultiplikation her kennen. Man erkennt gut, dass die 34 nicht verwendet wird.

Fazit: Die Bauernmultiplikation ist eine Methode die nur einfache Mittel benötigt. Dies war vor allem im Mittelalter eine gute und schnelle Methode um Zahlen mit einander zu verrechnen. Bei der heutigen Schulbildung sollte man das 1 mal 1 beherrschen. In diesem Falle ist die schriftliche Multiplikation etwas schneller. So wenigstens meiner Meinung nach.

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