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Sangakus - Zwei Viertelkreise in einem Quadrat

Das erste Sangaku Zwei Viertelkreise in einem Quadrat :
3HTAM: Sangaku Nummer 1

Die Lösung

Offensichtlich sind der Radius des roten Kreises und die Seitenlänge des Quadrates identisch. \[ \color{red}{r_1} = a\] Als zweiten Schritt schauen wir uns die Diagonale an. Für die Diagonale $d$ können gilt: \[ d = \color{red}{r_1}+\color{blue}{r_2}\] An dieser Stelle müssen wir noch das Quadrat einbauen. Die Seitenlänge ist ja $r_1$. Die Diagonale können wir mit dem Satz von Pythagoras auch schreiben als: \[ d = \sqrt{ \color{red}{r_1}^2 + \color{red}{r_1}^2} = \sqrt{2\color{red}{r_1}^2} = \color{red}{r_1} \cdot \sqrt{2}\] Setzen beide Gleichungen gleich so erhalten wir: \begin{align} \color{red}{r_1}+\color{blue}{r_2} &= \color{red}{r_1} \cdot \sqrt{2} &&|:\color{red}{r_1} \\ 1 + \frac{\color{blue}{r_2}}{\color{red}{r_1}} &= \sqrt{2} &&|-1 \\ \frac{\color{blue}{r_2}}{\color{red}{r_1}} &= \sqrt{2}-1 &&|\text{ Kehrwert nehmen} \\ \frac{\color{red}{r_1}}{\color{blue}{r_2}} &= \frac{1}{\sqrt{2}-1} &&|\text{ erweitern} \\ \frac{\color{red}{r_1}}{\color{blue}{r_2}} &= \frac{1}{\sqrt{2}-1} \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} &&|\text{ 3. binomische Formel} \\ \frac{\color{red}{r_1}}{\color{blue}{r_2}} &= \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} && \\ \frac{\color{red}{r_1}}{\color{blue}{r_2}} &= \sqrt{2}+1 \end{align} Somit haben wir das Verhältnis zwischen den beiden Radien bestimmt.

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